1° Teorema di Euclide

Ogni lato dell'angolo retto di un triangolo rettangolo è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la sua proiezione sull'ipotenusa

Sia ABC un triangolo rettangolo in cui BÂC = 90°. Disegnamo un quadrato su AB e sia H il piede dell'altezza tirata dal vertice A. Disegnamo quindi un rettangolo avente come lati HD=BC e BH. Se prolunghiamo i due segmenti BE e HD e il segmento FG otteniamo un parallelogramma BALI (perché ha i lati opposti paralleli) e un triangolo BFI uguale al triangolo ABC.

Infatti abbiamo:

• FB = AB poiché lati di uno stesso quadrato
• , l'angolo perché è l'angolo di un quadrato e BÂC per ipotesi,
• perché sono due angoli complementari dello stesso angolo .

Queste tre relazioni sono sufficienti per affermare che i due triangoli FBI e ABC sono uguali. Di conseguenza BI=BC, e poiché BC=HD, per transitività BI=HD. Ora, se consideriamo il parallelogramma P e il rettangolo R, osserviamo che hanno la stessa base BI=HD e la stessa altezza BH, dunque hanno la stessa area (P≡R).

La stessa cosa vale per il quadrato Q e il parallelogramma P, dato che hanno la stessa base AB e la stessa altezza BF, cioè Q≡P; per transitività, se Q≡P e P≡R, segue che Q≡R.

Passiamo ora alle relazioni metriche.

Area del quadrato = AB², area del rettangolo = BH BC , AB² = BH BC e infine la tesi: