Esercizio 1:
dati i vettori (espressi in coordinate cartesiane):
u = 6i - 4j + 2k
v = 2i - 6j + 10k
z = 4i + 2j - 8k
stabilire se essi formano un triangolo rettangolo.
Soluzione:
innanzitutto, affincé formino un triangolo rettangolo, è ovviamente necessario che tra due di essi vi sia un angolo retto. Come verificarlo? Bisogna calcolare (a coppie di vettori) il loro prodotto scalare: se per una di queste coppie il prodotto scalare risulta nullo, tale coppia di vettori forma un angolo retto. Procediamo per tentativi, calcolando cioè i prodotti scalari dei vettori, lavorando quindi sulle loro componenti:
u.v=(6x2)+(4x6)+(2x10)=12+24+20 !=0 NON formano angolo retto;
u.z=(6x4)+[(-4)x2]+[2x(-8 )]=24-8-16=0 FORMANO angolo retto.
Avendo verificato che due dei vettori dati (u e z) formano un angolo retto, resta da stabilire se tutti e tre formano un triangolo (che sarà ovviamente rettangolo, avendo un angolo retto, come appena dimostrato). Come si fa a stabilire se è un triangolo? Basta applicare il teorema di Pitagora al "presunto" triangolo, i cui cateti sono i due vettori che individuano l'angolo retto (u e z) e l'ipotenusa il terzo vettore v. Quindi la somma dei quadrati costruiti sui cateti deve essere uguale al quadrato costruito sull'ipotenusa, quindi la somma dei quadrati dei moduli dei due vettori "cateti" deve essere uguale al quadrato del terzo vettore "ipotenusa". Come si calcola il modulo di un vettore? Ancora una volta con il teorema di Pitagora applicato alle sue componenti, per cui avremo:
modulo di u al quadrato= 6^2 + (-4)^2 + 2^2= 36 + 16 + 4= 56;
modulo di z al quadrato= 4^2 + 2^2 + (-8 )^2= 16 + 4 + 64= 84;
modulo di v al quadrato= 2^2 + (-6)^2 + 10^2= 4 + 36 + 100=140;
56+84=140, quindi il teorema di Pitagora vale; in conclusione i tre vettori individuano un triangolo rettangolo.
Esercizio 2:
sia P un punto di coordinate x, y (in un sistema di assi cartesiani) individuato dal vettore posizione r(3i+2j)m. Su di esso agisce una forza F di intensità 4/r^2 N diretta secondo la congiungente P con l'origine O degli assi.
Esprimere F, Fx e Fy e calcolarne i moduli.
Soluzione:
rappresentazione grafica (conviene sempre farla!):
in sostanza si tratta di disegnare un paio di assi cartesiani segnando con O l'origine e con P un generico punto del piano; quindi basta puntare la matita in un punto qualsiasi del piano cartesiano e scriverci vicino P(x,y). Fatto questo, poiché sappiamo che tale punto è "individuato dal vettore posizioner(3i+2j)m", allora tracciamo questo vettore posizione che parte ovviamente dall'origine O e "indica" P, cioè ha la sua punta in P. Le componenti di questo vettore r sono 3i (rispetto all'asse x) e 2j(rispetto all'asse y): è possibile indicarle sul disegno stesso. Dopo di che sappiamo che la forza F (che ovviamente anche è un vettore) agisce su P "secondo la congiungente P con l'origine O degli assi", cioè in sostanza la direzione del vettore F è esattamente la stessa di r MA il suo verso è opposto.
Fatto il disegno, rimane da determinare la soluzione. Allora innanzitutto dobbiamo esprimere il vettore F: il suo modulo già lo conosciamo (è 4/r^2), ci rimane da determinarne direzione è verso; abbiamo appena detto, però, che la direzione di tale vettore è la stessa di r e il suo verso è opposto: il fatto che la direzione sia la stessa, significa che F e r hanno lo stesso versore (e quindi anche le stesse componenti) MA cambiato di segno, per esprimere il fatto che F è opposto a r. Non dovrebbe risultare quindi strano esprimere F come segue:
F=-4/r^2r/r,
dove:
il segno - indica appunto che F, rispetto a r, è opposto;
4/r^2 altro non è che il modulo di F, che era già noto in partenza;
r/r è il versore di r (e quindi di F, essendo lo stesso cambiato di segno), dato dal rapporto tra vettore stesso e il suo modulo.
Moltiplicando (-4/r^2)xr/r otteniamo -(4/r^3)xr, dove il vettore rpuò essere scritto con le sue componenti, quindi in definitiva avremo che il vettore F è:
F=-4/r^3(3i +2j).
A questo punto abbiamo espresso F vettorialmente. Ora ci resta da definire i moduli di Fstesso e delle sue componenti Fx e Fy:
per quanto riguarda le componenti di F (Fx e Fy), queste si possono ricavare facilmente da
F=-4/r^3(3i +2j)
moltiplicando il modulo di F per le componenti 3i e 2j, quindi F(12/r^3 +8/r^3). Ricordando ora che il modulo di r è radquad(13), che possiamo scrivere come 13^(1/2), abbiamo
Fx=-12/r^3, quindi Fx=-12/(13^3/2) N, da cui Fx=-0,26N
e
Fy=-8/r^3, quindi Fy=-8/(13^3/2) N, da cui Fy=-0,17N.
I segni - sono dovuti al fatto che le componenti orizzontale e verticale della forza sono ovviamente opposte alle componenti del vettore spostamento: giacché queste ultime sono state scritte col segno positivo, allora per esprimere il concetto di "contrarietà" aggiungiamo al valore delle componenti di F il segno "meno" (osservazione di neosse76)
Ultimo punto: modulo di F. Teorema di Pitagora tramite le sue componenti-> F=radquad((-0,26N)^2+(-0,17N)^2)N=0,31N.
Per il terzo esercizio, come dicevo anche nel post precedente, occorre un minimo di rappresentazione grafica. Ho realizzato qualcosa rigorosamente con paint (:mrgreen:) che è possibile visionare cliccando qui (se il link non funziona - cosa più che probabile - avvisatemi). In questo stesso file, oltre che la spiegazione del disegno, ho inserito la traccia dell'esercizio, che comunque riporto qui di seguito.
Esercizio 3:
Un corpo di massa M=50kg è tenuto in equilibrio in aria da due funi: l'una orizzontale e l'altra inclinata di 50° rispetto alla direzione verticale. Il corpo è in equilibrio. Determinare il valore delle tensioni T1 e T2.
Soluzione:
Affinché il corpo sia in equilibrio, è necessario che la somma delle forze su di esso agenti sia nulla. Quindi questo significa che T1, T2 e P (forza peso) devono controbilanciarsi perfettamente. Tengo a specificare che le "tensioni T1 e T2" altro non sono che le forze "tiranti" esercitate rispettivamente dalla prima e dalla seconda fune.
Per semplicità stiamo considerando il sistema come se fosse bidimensionale, quindi ciascuna forza avrà due sole componenti, l'una orizzontale e l'altra verticale. La stessa forza totale (che battezziamo F) che agisce sul corpo ha due componenti, che chiamiamo Fx e Fy. Affinche quindi la forza totale F sia nulla, devono essere nulle le sue singole componenti Fx e Fy, quindi dobbiamo prima ricavarle e poi porle uguali a 0. Avremo in tal modo due equazioni che ci permetteranno di ricavare i due valori incogniti T1 e T2, che sono quelli che ci interessano ai fini dell'esercizio.
Ricaviamo prima la componente Fx, quindi la componente orizzontale della forza totale:
è ovvio che questa è data dalla somma delle componenti orizzontali di tutte (essendo appunto F forza totale) le forze in gioco, quindi
Fx=componente_orizzontale_T1+componmente_orizzontale_T2+componente_orizzontale_peso.
Stabiliamo una convenzione: poiché abbiamo forze rivolte versosinistra e destra e verso l'alto e il basso, quindi forze che agiscono in versi opposti, consideriamo positive le forze verso destra e verso l'alto e negative le forze verso sinistra e verso il basso (ecco perché nel disegno la forza peso P vale -M*g: è rivolta verso il basso). Nulla ci vieta di adottare la convenzione opposta: quello che è necessarioè distinguere le forze "opposte" con i due segni + e -.
1) Qual è la componente orizzontale di T1? La risposta è semplice: essendo T1 la tensione della fune orizzontale, ovviamente tutto il valore di tale forza è costituito dalla sua componente orizzontale (quella verticale è nulla), quindi la componente orizzontale di T1 è proprio T1, cioè il modulo della tensione stessa. NB: per la convenzione adottata, essendo T1 una forza "verso sinistra", le dobbiamo applicare il segno -, quindi in definitiva tale componente sarà -T1;
2) qual è la componente orizzontale della forza peso? Ancora una volta la risposta è banale: essendo la forza peso rivolta verso il basso, è evidente che la sua componente orizzontale è nulla, quindi non influisce nella componente orizzontale della forza totale;
3) infine, qual è la componente orizzontale di T2? Dobbiamo ricorrere alle formule di trigoniometria applicandole al triangolo rettangolo che appare nella figura: in sostanza la componente orizzontale di T2 è - diciamo - "la base" di tale triangolo, cioè la parte di direzione orrizzontale compresa tra il corpo e la linea rossa. Come si può calcolare con i dati che abbiamo? E' semplice, se ci si ricorda che in ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto è data dal prodotto dell'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto al cateto stesso, quindi nel nostro casocomponente_orizzontale_T2=T2*senA, dove "A" sta per "alfa" e T2 è l'ipotenusa del triangolo rettangolo in questione; a tale componente non dobbiamo mettere il segno meno perché è rivolta verso destra (v convenzione);
in definitiva abbiamo quindi che
Fx = -T1 + T2*senA
dovendo porre tale quantità uguale a zero (per i motivi che abbiamo detto prima) otteniamo l'equazione -T1 + T2*senA = 0.
Dobbiamo ora ricavare la componente vertivale Fy della forza totale, quindi avremo che
Fy=componente_verticale_T1+componmente_verticale_T2+componente_verticale_peso.
1) Qual è la componente verticale di T1? T1 è una forza esercitata secondo la direzione orizzontale, quindi la sua componente verticale è nulla e non influisce sulla forza totale;
2) qual è la componente verticale della forza peso? Essendo la forza peso verticale e rivolta verso il basso, la sua componente verticale è il modulo stesso della forza peso, quindi M*g (dove M è la massa e g l'accelerazione di gravità); a tale quantità, però, sempre per la convenzione che abbiamo adottato, dobbiamo cambiare il segno perché è rivolta verso il basso, quindi avremocomponente_vercitale_peso=-M*g;
3) qual è la componente verticale di T2? Dobbiamo ancora una volta ricorrere alle formule trigoniometriche applicate a quel triangolo rettangolo: la componente verticale di T2 è quel segmento rosso, che altro non è che un cateto di tale triangolo, quindi è uguale, in virtù dei soliti teoremi e delle solite formule, al prodotto dell'ipotenusa per il coseno dell'angolo compreso, quindi a T2*cos50°, dove T2 è l'ipotenusa del triangolo rettangolo e 50° l'angolo compreso tra T2 e il cateto rosso; essendo A (alfa) proprio uguale a 50° possiamo scrivere checomponente_verticale_T2=T2*cosA. Dobbiamo cambiare segno a questa forza? No, perché è rivolta verso l'alto e noi abbiamo stabilito per convenzione che ecc.. ecc...
in definitiva abbiamo quindi che
Fy = -M*g + T2*cosA
dovendo porre tale quantità uguale a zero (per i motivi che abbiamo detto prima) otteniamo l'equazione -M*g + T2*cosA = 0.
A questo punto l'esercizio si riduce ad una serie di calcoletti. Abbiamo il nostro sistema a due equazioni in due incognite:
{
{ -T1+T2*senA=0
{
{ -M*g+T2*cosA=0
{
Ricaviamo T2 dalla seconda equazione: abbiamo T2=(M*g)/cosA; ricaviamo anche T1 dalla prima: T1=T2*senA. Sostituiamo in questa seconda equazione il valore di T2=(M*g)/cosA: otteniamo
T1=M*g*(senA/cosA)=M*g*(tgA)
quanto vale allora T1? Basta andare a sostituire, nella relazione, i valori della massa, di g e della tangente di A (che si può ricavare con una calcolatrice scientifica); approssimando ai centesimi abbiamo quindi:
T2=50*9,80*1,19 kg*m/s^2=583,1 kg*m/s^2, cioè 583,1 N;
ricaviamo inoltre T2 dalla relazione T2=(M*g)/cosA:
T2=(50*9,80)/0,64 1kg*m/s^2=762,30 kg*m/s^2, cioè 762,30 N
Questi sono dunque i valori delle due tensioni.
In realtà (non so se ho copiato male dalle slide) il valore di T2 secondo il prof. Fusco dovrebbe essere 684,08 N, che è ben diverso da quello che ho ricavato io: non credo di aver commesso errori, quindi credo che la cosa si spieghi semplicemente tenendo presente che il professore inserisce "ad arte" degli errori negli esercizi per impedire che gli studenti se ne impossessino e li copino pedissequamente all'esame, cosa che succede spesso (ecco spiegati i 100-200 bocciati ad ogni sessione d'esame: si tratta di studenti che copiano gli esercizi senza nemmeno darsi cura di dargli uno sguardo per vedere se ci sono errori...)
**Uso la lettera “w” per indicare la lettera greca “omega”**
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